Espaços Vetoriais
Introdução e Exemplos
Neste capıtulo introduziremos o conceito de espaço vetorial que será usado em todo o decorrer do curso.
Porem, antes de apresentarmos a sua definição, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto
formado pelas funções f : R ! R, denotado por F(R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com
coeficientes reais que denotaremos por Mm(R); ou simplesmente, por Mm:
A soma de duas funções f e g de F(R) ´e definida como sendo a função f+g
f(x) + g(x):
Note também que se ¸ 2 R podemos multiplicar a função f pelo escalar ¸; da seguinte forma (¸f)(x) =
¸(f(x)); resultando num elemento de F(R):
Com relação a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n; A = (aij)n£n e B = (bij)n£n;
colocando A + B = (aij + bij)n£n; que ´e um elemento de Mn:
Com a relação `a multiplicação de A = (aij)n£n por um escalar ¸ 2 R; ´e natural definirmos ¸A =
(¸aij)n£n; o qual também pertence a Mn:
O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adição de seus elementos e multiplicação de
seus elementos por escalares, tem comum? Vejamos:
Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos números reais que, com relação a quaisquer funções
f; g e h em F(R) e para todo ¸; ¹ 2 R; são validos os seguintes resultados:
